Теорема Тонелли — Фубини

Теоре́ма Тоне́лли — Фуби́ни в математическом анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах сводит вычисление двойного интеграла к повторным.

Содержание

Формулировка

Пусть даны два пространства с мерами (X_i,\mathcal{F}_i,\mu_i),\; i=1,2. Обозначим (X_1 \times X_2, \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2, \mu_1 \otimes \mu_2) их произведение. Пусть функция f: X_1 \times X_2 \to \mathbb{R} интегрируема относительно меры \mu_1 \otimes \mu_2. Тогда

  • функция x_1 \to \int\limits_{X_2} f(x_1,x_2)\, \mu_2(dx_2) определена и интегрируема относительно μ1;
  • функция x_2 \to \int\limits_{X_1} f(x_1,x_2)\, \mu_1(dx_1) определена и интегрируема относительно μ2;
  • имеют место равенства
\iint\limits_{X_1 \times X_2} f(x_1,x_2)\, \mu_1 \otimes \mu_2(dx_1\, dx_2) = \int\limits_{X_1}\left[\;\int\limits_{X_2}f(x_1,x_2)\, \mu_2(dx_2)\right] \mu_1(dx_1)

и

\iint\limits_{X_1 \times X_2} f(x_1,x_2)\, \mu_1 \otimes \mu_2(dx_1\, dx_2) = \int\limits_{X_2}\left[\;\int\limits_{X_1}f(x_1,x_2)\, \mu_1(dx_1)\right] \mu_2(dx_2).

Частные случаи

Теория вероятностей

Пусть (\Omega_i,\mathcal{F}_i,\mathbb{P}_i),\,i=1,2 - вероятностные пространства, и X:\Omega_1 \times \Omega_2 \to \mathbb{R} - случайная величина на (\Omega_1 \times \Omega_2, \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2, \mathbb{P}_1 \otimes \mathbb{P}_2). Тогда

\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1 \otimes \mathbb{P}_2}[X] = \mathbb{E}_{\mathbb{P}_1}\left[\mathbb{E}_{\mathbb{P}_2}[X]\right] = \mathbb{E}_{\mathbb{P}_2}\left[\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1}[X]\right],

где индекс обозначает вероятностную меру, относительно которой берётся математическое ожидание.

Математический анализ

Пусть f:D = [a,b] \times [c,d] \to \mathbb{R} функция двух переменных, интегрируемая по Риману на прямоугольнике [a,b] \times [c,d], то есть f \in {R}(D). Тогда

\iint\limits_D f(x,y)\, dx\,dy = \int\limits_{a}^b \int\limits_c^d f(x,y)\, dy\,dx = \int\limits_{c}^d \int\limits_a^b f(x,y)\, dx\,dy,

где интеграл в левой части двумерный, а остальные повторные одномерные.

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home