Импликативная решётка

В математике решётка называется импликативной, если для каждых двух элементов a и b существует псевдодополнение a относительно b (a \to b), определяемое так:

a \to b = \max\{c: a \cdot c \leq b\}.

Аксиоматически импликативная решётка получается из обычной присоединением двух аксиом:

a \cdot (a \to b) \leq b,\quad a \cdot c \leq b \Rightarrow c \leq (a \to b).

Частным случаем импликативных решёток являются псевдобулевы алгебры. Сами импликативные решётки являются частным случаем полугруппы с делением, в которой левому и правому делению a \backslash b и b / a соответствует одна операция a \to b.

Свойства

  • Во всякой импликативной решётке имеется максимальный элемент (a \to a), обычно обозначаемый как 1.
  • Всякая импликативная решётка дистрибутивна.
  • Для всех элеметов a, b и c всякой импликативной решётки верны следующие утверждения:
  1. a \leq b \Rightarrow b \to c \leq a \to c;
  2. a \leq b \Rightarrow c \to a \leq c \to b;
  3. a \leq b \to c \Rightarrow a \cdot b \leq c;
  4. a \to b = 1 \Leftrightarrow a \leq b;
  5. b \leq a \to b;
  6. a \to b \leq ((a \to (b \to c)) \to (a \to c));
  7. a \leq b \to a \cdot b;
  8. a \to c \leq (b \to c) \to (a + b \to c).
Эти утверждения используются при доказательстве того, что псевдобулевы алгебры являются моделями интуиционистского исчисления высказываний.
  • \nabla является фильтром импликативной решётки тогда и только тогда, когда 1 \in \nabla и (a \in \nabla, a \to b \in \nabla) \Rightarrow b \in \nabla.
  • Пусть A — импликативная решётка, \nabla — фильтр, тогда факторрешётка A / \nabla импликативна, а класс \nabla будет максимальным элементом новой решётки.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home