Мера Жордана

Мера Жордана — один из способов формализации понятия длины, площади и n-мерного обьёма в n-мерном евклидовом пространстве.

Содержание

Построение

Мера Жордана \ m\Delta параллелепипеда \Delta=\prod_{i=1}^n [a_i,b_i] в \mathbb R^n определяется как произведение m\Delta=\prod_{i=1}^n (b_i-a_i). Для ограниченного множества E\subset \mathbb R^n определяются: внешняя мера Жордана

m_eE=\inf\sum_km\Delta_k, \cup_k\Delta_k\supset E

и внутренняя мера Жордана

m_iE=\sup\sum_km\Delta_k, \cup_k\Delta_k\subset E, \Delta_k\cap\Delta_m если k\not=m,

здесь \ \Delta_k — параллелепипеды описанного выше вида.

Множество \ E назывется измеримым по Жордану (квадрируемым при \ n = 2, кубируемым при \ n\ge3), если \ m_eE=m_iE. В этом случае мера Жордана равна \ mE=m_eE=m_iE.

Свойства

  • Мера Жордана инвариантна относительно движений евклидова пространства.
  • Ограниченное множество E\subset\mathbb R^n измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его граница имеет меру Жордана нуль (или, что равносильно, когда его граница имеет меру Лебега нуль).
  • Внешняя мера Жордана одна и та же для E и \bar E (замыкания множества E) и равна мере Бореля \bar E.
  • Измеримые по Жордану множества образуют кольцо множеств, на котором мера Жордана конечно аддитивная функция.

История

Приведённое понятие меры ввели Дж. Пеано (1887) и К. Жордан (1892). В последствии понятие было обобщено Лебегом на более широкий класс множеств.

Литература

  • Реanо G., Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale, Torino, 1887;
  • Jordan C, «J. math, puresetappl.», 1892, t. 8, p. 69—99;
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home