Функция вероятности

Фу́нкция вероя́тности в теории вероятностей — наиболее часто используемый способ охарактеризовать дискре́тное распределение.

Содержание

Определения

Функция произвольной вероятности

Пусть \mathbb{P} является вероятностной мерой на \mathbb{R}^n, то есть определено вероятностное пространство \left(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n),\mathbb{P}\right), где \mathcal{B}(\mathbb{R}^n) обозначает борелевскую σ-алгебру на \mathbb{R}^n.

Определение 1. Вероятностная мера называется дискретной, если её носитель \mathbb{P} не более, чем счётен, то есть существует не более, чем счётное подмножество X \subset \mathbb{R}^n такое, что \mathbb{P}(X) = 1.

Определение 2. Функция p:\mathbb{R}^n \to [0,1], определённая следующим образом:

p(x) = \left\{ \begin{matrix} \mathbb{P}(\{x\}), & x\in X \\ 0, & x \in \mathbb{R}^n \setminus X \end{matrix} \right.

называется функцией вероятности \mathbb{P}.

Функция вероятности случайной величины

Определение 3. Пусть X:\Omega \to \mathbb{R}^nслучайная величина (случайный вектор). Тогда она индуцирует вероятностную меру \mathbb{P}^X на \mathbb{R}^n, называемую распределением. Случайная величина называется дискретной, если её распределение дискретно. Функция вероятности pX случайной величины X имеет вид:

p_X(x) = \mathbb{P}^X(\{x\}) \equiv \mathbb{P}(X=x).

или короче

p_X(x_i) = \mathbb{P}(X=x_i) = p_i, \; i \in \mathbb{N},

где X = \{x_1,x_2, x_3,\ldots \} \subset{\mathbb{R}^n}.

Свойства функции вероятности

Из свойств вероятности очевидно следует:

  • p_X(x_i) \ge 0,\; \forall i \in \mathbb{N}.
  • \sum\limits_{i=1}^{\infty}p_X(x_i) = 1.
  • Функция распределения случайной величины может быть выражена через её функцию вероятности:
F_X(x) = \sum\limits_{x' \le x}p_X(x').
  • Если X = (X1,X2), то
\sum\limits_{x_2}p_{X_1,X_2}(x_1,x_2) = p_{X_1}(x_1),
\sum\limits_{x_1}p_{X_1,X_2}(x_1,x_2) = p_{X_2}(x_2),

где p_{X_1,X_2} — функция вероятности вектора (X1,X2), а p_{X_i} — функция вероятности величины X_i,\; i=1,2. Это свойство очевидно обобщается для случайных векторов размерности n > 2.

\mathbb{E}[g(X)] = \sum\limits_{i=1}^n g(x_i)\, p_i,

при условии что ряд в правой части абсолютно сходится.

Примеры дискретных распределений

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home