Неравенство о средних

Среднее степени d набора положительных вещественных чисел x_1, \ldots, x_n определяется как

A_d(x_1, \ldots, x_n) = \left( \frac{x_1^d + \ldots + x_n^d}{n} \right)^{1/d}

При этом по непрерывности доопределяются следующие величины

A_0(x_1, \ldots, x_n) = \lim_{d\to 0} A_d(x_1, \ldots, x_n) = \left( x_1\cdot\ldots\cdot x_n\right)^{1/n}
A_{+\infty}(x_1, \ldots, x_n) = \lim_{d\to +\infty} A_d(x_1, \ldots, x_n) = \max\{ x_1, \ldots, x_n \}
A_{-\infty}(x_1, \ldots, x_n) = \lim_{d\to -\infty} A_d(x_1, \ldots, x_n) = \min\{ x_1, \ldots, x_n \}

Средние степеней 1, 0 и -1 имеют собственные имена:

  • A_1(x_1, \ldots, x_n) = \frac{x_1 + \ldots + x_n}{n} называется средним арифметическим;

(иначе говоря: среднее арифметическое n чисел, является их сумма, деленная на n)

  • A_0(x_1, \ldots, x_n) = \left( x_1\cdot\ldots\cdot x_n\right)^{1/n} называется средним геометрическим;

(иначе говоря: среднее геометрическое n чисел, является корень n-ой степени из произведения этих чисел)

  • A_{-1}(x_1, \ldots, x_n) = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \ldots + \frac{1}{x_n}} называется средним гармоническим.

Неравенство о средних

Неравенство о средних утверждает, что для d1 > d2

A_{d_1}(x_1, \ldots, x_n) \geq A_{d_2}(x_1, \ldots, x_n),

причем равенство достигается только в случае равенства всех аргументов x_1 = \ldots = x_n.

Для доказательства неравенства о средних достаточно показать, что частная производная A_d(x_1, \ldots, x_n) по d неотрицательна и обращается в ноль только при x_1 = \ldots = x_n.

Неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом

Частным случаем неравенства о средних является неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом

\max\{ x_1, \ldots, x_n \} \geq \frac{x_1 + \ldots + x_n}{n} \geq \left( x_1\cdot\ldots\cdot x_n\right)^{1/n} \geq \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \ldots + \frac{1}{x_n}} \geq \min\{ x_1, \ldots, x_n \},

где каждое из равенств достигается только при x_1 = \ldots = x_n.

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home