Момент инерции

Содержание

Момент инерции механической системы

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси a называется физическая величина Ja равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

J_a=\sum_{i=1}^n m_i p_i^2\,\!,

где:

  • mi - масса i-й точки,
  • pi — расстояние i-й точки от оси.

Момент инерции тела

Момент инерции тела Ja является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг своей оси a подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

J_a=\int_{(m)} p^2dm=\int_{(V)} p^2DdV\,\!,

где:

  • dm=DdV — масса малого элемента объема тела dV,
  • D — плотность,
  • p — расстояние от элемента dV до оси a.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

J_a=D\int_{(V)} p^2dV\,\!

Момент инерции данного тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера) момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела Jc относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

J=J_c+md^2\,\!

Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей:


Тело Положение оси a Момент инерции Ja
Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) радиуса R и массы m Ось цилиндра mR2
Сплошной цилиндр (диск) радиуса R и массы m Ось цилиндра \frac{1}{2}mR^2
Шар радиуса R и массы m Ось проходит через центр шара \frac{2}{5}mR^2
Тонкостенная сфера радиуса R и массы m Ось проходит через центр сферы \frac{2}{3}mR^2
Прямой тонкий стержень длины l и массы m Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его середину \frac{1}{12}ml^2
Прямой тонкий стержень длины l и массы m Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец \frac{1}{3}ml^2

Теорема Штейнера

Если I0 — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, то момент инерции относительно параллельной оси, расположенной на расстоянии a от неё, равен

I = I0 + ma2,

где m — полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равна:

I=I_0+ma^2=\frac{1}{12}ml^2+m(\frac{l}{2})^2=\frac{1}{3}ml^2

Центробежный момент инерции

Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:

J_{xy}=\int_{(m)} xydm=\int_{(V)} xyDdV\,\!

J_{xz}=\int_{(m)} xzdm=\int_{(V)} xzDdV\,\!

J_{yz}=\int_{(m)} yzdm=\int_{(V)} yzDdV\,\!

где x, y и z — координаты малого элемента тела объёмом dV, плотностью D и массой dm.

Ось OX называется главной осью инерции тела, если центробежные моменты инерции Jxy и Jxz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции тела.

Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции. Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.

См. также

Литература

Яворский Б. М., Детлаф А. А. Физика для школьников старших классов и поступающих в вузы: учебное пособие — М.: Дрофа, 2002, с. 800 ISBN 5-71-075956-2

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home