Эргодическое распределение

Определение

Пусть \{X_n\}_{n \ge 0} - однородная цепь Маркова с дискретным временем и счётным числом состояний. Обозначим

p_{ij}^{(n)} = \mathbb{P} (X_n = j \mid X_0 = i)

переходные вероятности за n шагов. Если существует дискретное распределение \pi = (\pi_1,\pi_2,\ldots )^{\top}, такое что \pi_i > 0,\; i \in \mathbb{N} и

\lim\limits_{n \to \infty} p_{ij}^{(n)} = \pi_j, \quad \forall i=1,2, \ldots,

то оно называется эргоди́ческим распределе́нием, а сама цепь называется эргоди́ческой.

Основная теорема об эргодических распределениях

Пусть \{X_n\}_{n \ge 0} - цепь Маркова с дискретным пространством состояний и матрицей переходных вероятностей P = (p_{ij}),\; i,j=1,2,\ldots. Тогда эта цепь является эродической тогда и только тогда, когда она

  1. неразложима;
  2. положительно возвратна;
  3. апериодична.

Эргодическое распределение \mathbf{\pi} тогда является единственным решением системы:

\sum\limits_{i=0}^{\infty} \pi_i = 1,\; \pi_j \ge 0,\; \pi_j = \sum\limits_{i=0}^{\infty} \pi_i\, p_{ij},\quad \, j\in \mathbb{N}.

См. также


Классификация состояний и цепей Маркова
Состояние: апериодическое | возвратное | достижимое | невозвратное | несущественное | нулевое | периодическое | положительное | сообщающееся | существенное
Цепь: апериодическая | возвратная | невозвратная | неразложимая | нулевая | периодическая | положительная | разложимая | эргодическая
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home