Группа (математика)

Гру́ппа — в абстрактной алгебре непустое множество с определённой на нём бинарной операцией, удовлетворяющей указанным ниже аксиомам. Ветвь математики, занимающаяся группами, называется теорией групп.

Всем знакомые вещественные числа наделены сложением — операцией, обладающей некоторым набором свойств. Похожими свойствами обладают и многие другие из объектов, которые изучает математика, — например, множество вращений плоскости вокруг начала координат. Теория групп занимается изучением взаимосвязей между этими свойствами в общем виде. Структура группы включается в различные другие алгебраические структуры, такие как поля, векторные пространства или группы Ли. Кроме того, группы являются важными инструментами в изучении симметрии во всех её проявлениях.

Содержание

Определения

Непустое множество G с заданной на нём бинарной операцией · : G \times G \to G называется группой (G, ·), если выполнены следующие аксиомы:

  1. ассоциативность: для любых a, b и c из G верно (a · b) · c = a · (b · c);
  2. наличие нейтрального элемента: в G существует элемент e такой, что для всех a из G справедливо e · a = a · e = a;
  3. наличие обратного элемента: для любого a из G найдётся элемент a-1 из G, называемый обратным, такой, что a · a-1 = a-1 · a = e.

Комментарии

  • Заметим, что от группы не требуется свойства a · b = b · a (так называемой коммутативности).
    • Пара элементов, для которых это равенство выполнено, называются перестановочными или коммутирующими.
    • Множество элементов, перестановочных со всеми элементами группы, называется центром группы.
    • Группа, для которой это равенство выполнено для произвольных элементов a, b из G, называется коммутативной, или абелевой.
  • В определении группы 2-ю и 3-ю аксиомы можно заменить одной аксиомой существования обратной операции:
Для любых a и b из G существуют единственные x и y из G такие, что: a · x = b и y · a = b.
  • Вышеприведённые аксиомы не являются строго минимальными. Для существования нейтрального и обратного элементов достаточно наличия левого нейтрального (el · a = a) и левого обратного (a' · a = el) элементов. При этом они автоматически являются e и a-1:
e_l = a' \cdot a \Leftrightarrow e_l \cdot e_l = a' \cdot a \Leftrightarrow a' \cdot a \cdot e_l = a' \cdot a \Leftrightarrow a'' \cdot a' \cdot a \cdot e_l = a'' \cdot a' \cdot a \Leftrightarrow e_l \cdot a \cdot e_l = e_l \cdot a \Leftrightarrow a \cdot e_l = a;
a \cdot a' = e \cdot (a \cdot a') = (a'' \cdot a') \cdot (a \cdot a') = a'' \cdot (e \cdot a') = a'' \cdot a' = e.

Связанные определения

см. основую статью Словарь терминов теории групп.

  • Подгруппа — подмножество H группы G, которое является группой относительно операции, определённой в G.
  • Порядок группы (G,*) — мощность G (т.е. число её элементов).
    • Если множество G конечно, то группа называется конечной.

Примеры

  • Целые числа с операцией сложения. (\Z,+) группа с нейтральным элементом 0. Она является абелевой.
  • Положительные рациональные числа с операцией умножения. Произведение рациональных чисел — снова рациональное число, обратный элемент к рациональному числу представляется обратной дробью, имеется ассоциативность и единица.
  • Свободная группа с двумя образующими (F2) состоит из пустого слова, которое мы обозначаем ε (это единица нашей группы), и всех конечных слов из четырёх символов a, a−1, b и b−1 таких, что a не появляется рядом с a−1 и b не появляется рядом с b−1. Операция умножения таких слов — это просто соединение (конкатенация) двух слов в одно с последующим сокращением пар aa−1, a−1a, bb−1 и b−1b.
  • Циклические группы состоят из степеней a0 = e, a, a2, … одного элемента a. Такие группы всегда коммутативны. Примеры таких групп — упомянутые уже целые числа по сложению и группа корней из единицы.

Стандартные обозначения

Мультипликативная запись

Обычно групповую операцию называют (абстрактным) умножением; тогда применятеся мультипликативная запись:

  • результат операции называют произведением и записывают «a·b» или «ab»;
  • нейтральный элемент обозначается «1» и называется единицей;
  • обратный к a элемент записывается как «a−1».

Кратные произведения aa, aaa, … записывают в виде целых степеней a2, a3, …, причём (a-1)n = a-n, a0 = e.

Аддитивная запись

В коммутативной группе определяющяя операция часто рассматривается как (абстрактное) сложение и записывается аддитивно:

  • пишут «a + b» и называют получившийся элемент суммой элементов a и b;
  • обозначают нейтральный элемент «0» и называем его нулём;
  • обратный элемент к a обозначают как «−a» и называют его противоположным к a элементом;
  • запись сокращают следующим образом: a + (-b) = a - b;
  • выражения вида a + a, a + a + a, -a - a, … обозначают символами 2a, 3a, -2a, …

Простейшие свойства

  • Обратный к данному элемент всегда определяется однозначно.
  • (a-1)-1 = a, aman = am+n, (am)n = amn.
  • (ab)-1 = b-1a-1.
  • Верны законы сокращения:
c · a = c · b ⇔ a = b,
a · c = b · c ⇔ a = b.
  • Обратный элемент к нейтральному есть сам нейтральный элемент.
  • Группа содержит единственное решение x любого уравнения x · c = b или c · x = b; то есть в группе возможны однозначно определённые правое и левое «деление».
  • Пересечение двух подгрупп группы G есть подгруппа группы G.
  • Теорема Лагранжа: если G — группа конечного порядка g, то порядок g1 любой её подгруппы G1 является делителем порядка группы. Из этого следует, что и порядок любого элемента делит порядок группы.

Получение новых групп из уже известных

  • В группе может существовать несколько подгрупп. Для определения их числа пользуются теоремой Лагранжа и теоремами Силова.
  • Пусть дана группа G и её нормальная подгруппа H, тогда факторгруппа G/H есть множество смежных классов по H вместе с операцией умножения, которая корректно определяется по представителям: (gH)(hH)=(gh)H.
  • Полупрямое произведение и, в частности,
    • Прямое произведение двух групп (G,·) и (H,•) есть множество G×H пар, наделённое операцией покомпонентного умножения: (g1,h1)(g2,h2) = (g1 · g2,h1h2).
  • Свободное произведение двух групп G и H есть группа, система образующих которой есть объединение систем образующих G и H, a система соотношений есть объединение систем соотношений G и H. Например, модулярная группа является свободным произведением \Z_2 и \Z_3.

Обобщения

  • Группоид — группа без требования того, чтобы операция была определена для любых элементов.
  • Полугруппа
  • Множество G с заданной на нём бинарной операцией ·, удовлетворяющее только первым двум аксиомам, называется моноидом. Таким образом, группа может быть определена как моноид, в котором каждый элемент обратим.
  • Квазигруппа

См. также

Популярная литература

Научная литература

  • Белоногов В. А. Задачник по теории групп. М.: Наука, 2000.
  • Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.
  • Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
  • Холл М. Теория групп. М.: Издательство иностранной литературы, 1962.
  • Gorenstein D. Finite groups. N.Y.: Harper and Row, 1968.
  • Huppert B. Endliche Gruppen. I.B.: Springer, 1967.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home