Отрицательное биномиальное распределение

Отрицательное биномиальное распределение
Функция вероятности
Функция распределения
Параметры r > 0\!
p \in (0;1)\! (real)
Носитель k \in \{0,1,2,\ldots\}\!
Функция вероятности \frac{\Gamma(r+k)}{k!\,\Gamma(r)}\,p^r\,(1-p)^k \!
Функция распределения I_p(r,k+1)\!
Математическое ожидание r\,\frac{1-p}{p}\!
Медиана
Мода \lfloor(r-1)\,(1-p)/p\rfloor\! если r > 1
0 если r\leq1
Дисперсия r\,\frac{1-p}{p^2}\!
Коэффициент асимметрии \frac{2-p}{\sqrt{r\,(1-p)}}\!
Коэффициент эксцесса \frac{6}{r} + \frac{p^2}{r\,(1-p)}\!
Информационная энтропия
Производящая функция моментов \left(\frac{p}{1-(1-p) e^t}\right)^r \!
Характеристическая функция \left(\frac{p}{1-(1-p) e^{i\,t}}\right)^r \!

Отрицательное биномиальное распределение в теории вероятностей — это распределение дискретной случайной величины равной количеству произошедших неудач в последовательности испытаний Бернулли с вероятностью успеха p, проводимой до r-го успеха.

Определение

Пусть X_1 ,\ldots, X_n — конечная последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

X_i = \left\{ \begin{matrix} 1, & p \\ 0, & q \equiv 1-p \end{matrix} \right.,\; i=1,\ldots, n.

Построим случайную величину Y следующим образом. Пусть k + r — номер r-го успеха в этой последовательности. Тогда Y = k. Более строго, положим S_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i. Тогда

Y = \inf\{n \mid S_n = r\} - r.

Распределение случайной величины Y, определённой таким образом, называется отрицательным биномиальным. Пишут: Y˜NB(r,p).

Функции вероятности и распределения

Функция вероятности случайной величины Y имеет вид:

\mathbb{P}(Y = k) = C_{k+r-1}^k\, p^r q^k,\; k=0,1,2,\ldots.

Функция распределения Y кусочно-постоянна, и её значения в целых точках может быть выражено через неполную бета-функцию:

FY(k) = Ip(r,k + 1).

Моменты

Производящая функция моментов отрицательного биномиального распределения имеет вид:

M_Y(t) = \left(\frac{p}{1 - q e^t}\right)^r,

откуда

\mathbb{E}[Y] = r \frac{q}{p},
\mathrm{D}[Y] = r \frac{q}{p^2}.
Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | логнормальное | Лоренца | нормальное | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home