Смешанное произведение

Сме́шанное произведе́ние ( \bar{a}, \bar{b}, \bar{c} ) векторов \bar{a}, \bar{b}, \bar{c}скалярное произведение вектора \bar{a} на векторное произведение векторов \bar{b} и \bar{c}:

(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}) = \langle\bar{a}, [\bar{b}, \bar{c}]\rangle.

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов.

Свойства

  • Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:
(\bar a,\bar b,\bar c)=(\bar b,\bar c,\bar a)=(\bar c,\bar a,\bar b)=-(\bar b,\bar a,\bar c)=-(\bar c,\bar b,\bar a)=-(\bar a,\bar c,\bar b);

т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения.

  • Смешанное произведение ( \bar{a}, \bar{b}, \bar{c} ) в правой декартовой системе координат равно определителю матрицы, составленной из векторов \bar{a}, \bar{b} и \bar{c}:
( \bar{a}, \bar{b}, \bar{c} ) = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}.

В частности,

  • Если три вектора линейно зависимы (т. е. лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
  • Смешанное произведение ( \bar{a}, \bar{b}, \bar{c} ) по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда, образованного векторами \bar{a}, \bar{b} и \bar{c}; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home