Полярная система координат

Полярная система координат — система координат, ставящая в соответствие каждой точке на плоскости пару чисел (ρ;φ).

Основными понятиями этой системы являются точка отсчета (полюс) и луч, начинающийся в этой точке (полярная ось).
Координата ρ определяет расстояние от точки до полюса, координата φ — угол между полярной осью и отрезком, соединяющим полюс и рассматриваемую точку. Координата φ берется со знаком «+», если угол от оси до отрезка вычисляется против часовой стрелки, и со знаком «-» в противоположном случае. Любая точка в этой системе имеет бесконечное число координат вида (ρ;φ + 2πn), которым соответствует одна и та же точка при любых натуральных n. Для полюса ρ = 0, а угол φ не определен.

Формулы перехода

\left\{\begin{matrix} x=\rho\cos\phi \\ y=\rho\sin\phi \end{matrix}\right.

  • от декартовой системы координат к полярной:

\begin{cases} \rho=\sqrt{x^2+y^2} \\ \cos\phi=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}; \sin\phi=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ \mathop{\mathrm{tg}}\,\phi=\frac{y}{x} \ (x \ne 0); \phi=\begin{cases}{\pi\over 2}, & y>0\\-{\pi\over 2}, & y<0 \end{cases} \ (x=0) \end{cases}

Полярные уравнения

Уравнение линии или кривой, выраженное в полярных координатах, называется полярным уравнением и обычно выражается ρ как функция ρ = ρ(φ). Полярная кривая симметрична:

  • относительно полярной оси (линии 0°/180°), если замена φ на - φ в уравнении приводит к эквивалентному уравнению;
  • относительно линии 90°/270°, если замена φ на π − φ приводит к эквивалентному уравнению;
  • относительно полюса, если замена ρ на − ρ приводит к эквивалентному уравнению.

Любая полярная линия может быть повернута на α° против часовой стрелки с помощью замены φ на φ − α в полярном уравнении.

Примеры полярных линий

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home