Ряд Тейлора

Ряд Тейлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Брука Тейлора.

Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки {a}\,\!, тогда ряд

\sum_{k=0}^\infty {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k

называется рядом Тейлора функции f в точке a. В случае, если a=0, этот ряд иногда называется рядом Маклорена.

Если f есть аналитическая функция, то её ряд Тейлора в любой точке a области определения f сходится к f в некоторой окрестности a.

Содержание

Формула Тейлора

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

тогда: \exists точка \xi\in (x,a) при x < a или \xi\in (a,x) при x > a:

f(x) = \sum_{k=0}^n {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k + \left({x - a \over x - \xi}\right)^p{(x - \xi)^{n+1}\over n! p}f^{(n+1)}(\xi)

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме.

Остаточные члены в форме Лагранжа, Коши и Пеано

R_{n+1}(x) = {(x - a)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = n+1


R_{n+1}(x) = {(x - a)^{n+1} (1 - \theta)^n \over n!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = 1

ослабим предположения:

  • Пусть функция f(x)\,\! имеет n-1\,\! производную в некоторой окрестности точки a
  • И n\,\! производную в самой точке {a}\,\!

тогда:

R_{n+1}(x) = o[(x - a)^n ] \,\!

Разложения Тейлора для некоторых функций

Ниже приведены разложения по формуле Тейлора некоторых основных функций, верные для комплексных и действительных x.

Экспонента и натуральный логарифм:

\mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!} для всех x
\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{n+1} x^{n+1} для \left| x \right| < 1

Геометрический ряд:

\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n для \left| x \right| < 1

Биномиальное разложение:

(1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} {\alpha \choose n} x^n для всех \left| x \right| < 1\quad\mbox{ and all complex } \alpha

Тригонометрические функции:

\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} для всех x
\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} для всех x
\operatorname{tg} x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1} для \left| x \right| < \frac{\pi}{2}
\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} для \left| x \right| < \frac{\pi}{2}
\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} для \left| x \right| < 1
\operatorname{arctg} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} для \left| x \right| < 1

Гиперболические функции:

\operatorname{sh} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1} для всех x
\operatorname{ch} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n} для всех x
\operatorname{th}\left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1} для \left|x\right| < \frac{\pi}{2}
\operatorname{areash} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} для \left| x \right| < 1
\operatorname{areath} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1} для \left| x \right| < 1

Литература

  • В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов "Математический анализ" ч. 1, изд. 3, ред. А.Н. Тихонов, изд.: Проспект 2004
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home