Гамма-функция Эйлера

Гамма-функцияматематическая функция, которая расширяет понятие факториала на поле комплексных чисел.

Определение

Если вещественная часть комплексного числа z положительна, то интеграл

\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}\,e^{-t}\,dt

сходится абсолютно (своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру). Применяя интегрирование по частям, можно показать, что

Γ(z + 1) = zΓ(z).

А поскольку Γ(1) = 1, получаем:

\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=...=n!\Gamma(1)=n!\,

для всех натуральных чисел n. В дальнейшем это может понадобиться для продолжения Γ(z) в мероморфную функцию, определенную для всех комплексных z, за исключением z = 0; − 1; − 2; − 3;... с помощью аналитического продолжения. Именно эту расширенную версию обычно и считают гамма-функцией.

Другое важное функциональное уравнение для гамма-функции — это формула дополнения

\Gamma(1-z)\Gamma(z) = {\pi \over \sin \pi z}.

Иногда используется альтернативная запись, так называемая пи-функция, зависящая от гамма-функции следующим образом:

Π(z) = Γ(z + 1) = zΓ(z).

Вероятно, наиболее известное значение гамма-функции от нецелого аргумента это

\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}.

Гамма-функция имеет полюс в z = − n для любого натурального n; вычет в этой точке задается так

\operatorname{Res}(\Gamma,-n)=\frac{(-1)^n}{n!}.

Следующее бесконечное произведение для гамма-функции, как показал Вейерштрасс, верно для всех комплексных z, не являющихся неположительными целыми:

\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}, где γ — это гамма-константа Эйлера.

Связь с другими функциями

В интеграле выше, определяющем гамма-функцию, пределы интегрирования фиксированы. В неполной гамма-функции допускается, чтобы верхний либо нижний предел интегрирования был переменным.

Гамма-функция диффиренциируема бесконечное число раз, и Г'(x) = psi(x) * Г(x), где psi(x) часто называют "пси функцией".

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home